分部積分法是種積分的技巧常應用於微積分數學與數值分析之中。它是由微分的乘法定則和微積分基本定理推導而來的。其基本思路是將不易求得結果的積分形式，轉化為等價的但易於求出結果的積分形式。
規則
當 \(u = u(x)\) 、 \(du = u'(x)dx\) 、 \(v = v(x)\) 與 \(dv = v'(x)dx\) ， 那分部積分就可以寫為：
\[ \int_a^b u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx \]
\[ \Leftrightarrow u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u'(x)v(x)dx \]
或是以更常見的簡寫：
\[ \int u \; dv = uv - \int v \; du \]
定理
假設 \(u(x)\) 與 \(v(x)\) 是兩個連續可導函數 (continuously differentiable functions). 由乘法定理 (product rule) 可知(用來布尼茲表示法 Leibniz's notation)：
\(\frac{d}{dx} ( u(x) \cdot v(x) ) = \frac{d(u(x))}{dx}\cdot v(x) + u(x)\cdot \frac{d(v(x))}{dx}\)
對兩側求不定積分：
\(uv = \int (\frac{d(u(x))}{dx}\cdot v(x) + u(x)\cdot \frac{d(v(x))}{dx})dx\)
\(\Leftrightarrow \int d(u(x))\cdot v(x) + \int u(x)\cdot d(v(x))\)
\(\Rightarrow \int u \; dv = uv - \int v \; du\)
常用的分部積分
\(\int \ln(x) dx = x\ln(x) - x + C\)
\(\int \ln(x)dx\)
令 \(u = \ln(x)\) 、 \(dv = dx\) ， 則 \(du = \frac{1}{x} dx\) 、 \(v = x\)
帶入：
\(\int \ln(x) dx = \ln(x) \cdot x - \int x\cdot \frac{1}{x}dx\)
\(\Leftrightarrow \ln(x)\cdot x - \int(1)dx\)
\(\Leftrightarrow \ln(x)\cdot x - x + C\)
\(\int \log (x) dx = x\cdot \log (x) - \frac{x}{\ln 10} + C\)
令 \(u = \log (x)\) 、 \(dv = dx\) ，
則 \(du= d(\log (x)) \Leftrightarrow d(\frac{\ln x}{\ln 10})\)
＜乘法定理＞： 上微下不微 + 下微上不微
\(\Leftrightarrow d(ln x)\cdot \frac{1}{\ln 10} + \ln x\cdot d(\ln 10)\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\ln 10} + \ln x \cdot 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{x\ln 10}\)
接著 \(v = x\) 。
\(\int \log x dx = \log x \cdot x - \int x \cdot \frac{1}{x \ln 10} dx\)
\(\Leftrightarrow x\cdot \log x - \int \frac{1}{\ln 10} dx\)
\(\Leftrightarrow x\cdot \log x - x\cdot\frac{1}{\ln 10} + C\)