泰勒級數（Taylor series）
英國數學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）於1715年發表泰勒公式
以無限項連加式（級數）來表示一個函數，其中「每一項」皆由函數在「某一點之導數」求得
- 英國數學家布魯克·泰勒（Sir Brook Taylor）於1715年發表泰勒公式
- 通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數
- 又叫做麥克勞林級數
- 通過函數在自變量零點的導數求得的泰勒級數
拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函數的泰勒級數是其泰勒多項式的極限（如果存在極限）。即使泰勒級數在每點都收斂，函數與其泰勒級數也可能不相等。開區間（或複平面開片）上，與自身泰勒級數相等的函數稱為解析函數。
定義
在數學上，一個在實數或複數 \(a\) 在 鄰域上的無窮可微實變函數或複變函數 \(f(x)\) 的泰勒級數是如下的冪級數 (若與原函式相等時為解析函數)：
\[ f(x) \simeq \sum_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} \]
而 \(f^{(n)}(a)\)表示函數 \(f\) 在點 $ a$ 處的 $ n$ 階導數。如果 \(a=0\) ，那麼這個級數也可以被稱為麥克勞林級數。
而多項式函數 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 時，\(n\) 階的泰勒展開式 \(P_{n}(x)\) 是：
\[ P_{n}(x) = \sum_{i = 0}^{n} \frac{ f^{(i)}(a) }{ i! }\cdot \left(x-a \right)^{i} \]
解析函數
Read more-1 (wiki)，Read more-2 (wiki)
如果泰勒級數對於區間 \((a-r,a+r)\)中的所有 \(x\) 都收斂並且級數的和等於 \(f(x)\) ，那麼我們就稱函數 \(f(x)\) 為解析的（analytic）。若且唯若一個函數可以表示成為冪級數的形式時，它才是解析的。為了檢查級數是否收斂於 \(f(x)\)，通常採用泰勒定理估計級數的餘項 (數值方法)。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。
泰勒級數的重要性體現在以下三個方面：
- 冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。
- 一個解析函數可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函數，並使得複分析這種手法可行。
- 泰勒級數可以用來近似計算函數的值。
對定值 x 而言，函數的精準度會隨著多項式的次數 n 的增加而增加。 對一個固定次數的多項式而言， 確度隨著 x 離開 x=0 處而遞減。
泰勒級數列表(常用)
注意：核函數 $ x$ 為 複數 時它們依然成立！
- 幾何級數(等比數列)
\[ \frac {1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty }x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<1 \]
\[ (1+x)^{\alpha }=\sum_{n=0}^{\infty }C^\alpha_n \cdot x^{n}\quad \forall x:\left|x\right|<1,\forall \alpha \in \mathbb{C} \]
- 指數函數
\[ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad \forall x \]
\(f(x) = e^x\) 在 \(x = 0\) 的泰勒展開式。 當\(n = 1\)時，\(P_{1}(x) = 1+ \frac{\left( e^0\right)'}{1!}\cdot\left( x - 0 \right)^1\) 當\(n = 2\)時，\(P_{2}(x) = 1+ \frac{\left( e^0\right)'}{1!}\cdot\left( x - 0 \right)^1 + \frac{\left( e^0\right)''}{2!}\cdot\left( x - 0 \right)^2\) 當\(n = 3\)時，\(P_{3}(x) = 1+ \frac{\left( e^0\right)'}{1!}\cdot\left( x - 0 \right)^1 + \frac{\left( e^0\right)''}{2!}\cdot\left( x - 0 \right)^2 + \frac{\left( e^0\right)^{(3)}}{3!}\cdot\left( x - 0 \right)^3\)
\(...\)自然對數
\[ \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}\quad \forall x\in (-1,1] \]
牛頓插值公式的淵源
Read more-1(wiki)，Read more-2(wiki)
牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由「牛頓 前向 差分方程」的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士。一般稱其為連續「泰勒展開」的離散對應。
差分
差分，又名差分函數或差分運算，是數學中的一個概念。它將原函數 \(f(x)\) 映射到 \(f(x+a)-f(x+b)\) 。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。
定義
前向差分的定義為：
\[ \Delta_{h}^{1}[f](x) = f(x + h) - f(x) \]
\[ \Delta_{h}^{n}[f](x) = \Delta_{h}^{n-1}[f](x + h) - \Delta_{h}^{n-1}[f](x) \]
$, where $ $ h =$ $ "x"$ \(一步的間距，若無下標h，那間距h = 1。\)
前向差分
函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數 \(f(x)\) ，如果在等距節點：
\[ x_{k}=x_{0}+kh,(k=0,1,...,n) \]
\[ \Delta f(x_{k})=f(x_{k+1})-f(x_{k}) \]
則稱 \(\Delta f(x)\)，函數在每個小區間上的增量 \(y_{k+1}-y_{k}\) 為 \(f(x)\) 一階差分。
後向差分
對於函數 \(f(x_{k})\)，如果：
\[ \nabla f(x_{k})=f(x_{k})-f(x_{k-1}) \]
則稱 \(\nabla f(x_{k})\) 為 \(f(x)\) 的一階逆向差分。