$e^x$

緣起

複利公式
- 一年後的本利和 = $(1+\frac{年利率}{期數})^{期數}$
  - 期數：一年期間內複利次數
    - 若為「逐月複利」則期數為 12
- 若有 1 份借貸以「x 年利率」並「逐月複利」
  - 則每個月為前一月總值乘以 $1 + \frac{x}{12}$，一年的總增值為 $(1 + \frac{x}{12})^{12}$
- 若有 1 份借貸以「x 年利率」並「逐日複利」
  - 則每天為前一天總值乘以 $1 + \frac{x}{365}$，一年的總增值為 $\left (1+ \frac{x}{365} \right)^{365}$
歐拉數 $e$ 進而被提出
- 若一開始存 1 元、年利率是100%、「逐秒複利」
  - 則一年後的利息約為 2.71828 元（1 年 = 31,556,926 秒）
- 若一開始存 1 元、年利率是100%、複利期數期數無限大
  - 則一年後的利息為 $e = \lim_{n \to \infty}\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n}$ 元
當複利期數為無限大時，為歐拉提出「指數函數」的定義，由上式可以知道
- $\lim_{n \to \infty}\left ( 1 + \frac xn \right )^n = \lim_{n \to \infty} \left ( \left ( 1 + \frac{1}{\frac nx} \right )^{\frac nx} \right)^x \approx e^x$
  - 對 n 與 x 進行探討，當 n 趨近於無限大時 x 相對來說為一定值，所以 $\frac nx$ 亦趨近無限大
    - $\lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{\frac nx} \right )^{\frac nx} \approx e^1 = e$

指數函數基本恆等式

下方兩式等價

$e^{x+y} = e^{x} \cdot e^{y}$

$\exp\left ( x + y \right ) = \exp\left ( x \right ) \cdot \exp\left ( y \right )$

性質

歐拉數 $e$ 的性質，對 $\forall x, y\in \mathrm{R}$
- $e^{0}=1$
- $e^{1}=e$
- $e^{x+y}=e^{x}e^{y}$
- $e^{x \cdot y}=\left(e^{x}\right)^{y}$
- $e^{-x}={1 \over e^{x}}$

微分

假設 $y = e^x$ 可微
- 根據其定義「應變數的微分」$\mathrm dy = f'(x) \cdot \mathrm dx$
  - 其中 $f(x) = e^x$，而 $f'(x)$ 為「導函數」
  - $\mathrm dx$ 為「自變數的微分」
探討 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 的「比例」以求其「導函數」
- 根據定義 $\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$
  - $y = e^{x+x} - e^{x}\ = e^x e^{x} - e^x \ = (e^{x} - 1) e^{x} .......（1） $
- 當 $\Delta x$ 很小時，對 $e^{\Delta x}$ 進行探討
  - $e^{\Delta x} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} e^{\frac 1n} \approx \lim_{n \to \infty}\left(\left(1 + \frac1n\right)^n\right)^{\frac 1n} \\ = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac1n\right) = 1 + \Delta x \quad ......（2）$
將式（2）帶入式（1）可得知其「導函數」
- $\Delta y = (e^{\Delta x} - 1) e^{x} \approx (1+\Delta x -1)e^x = e^x\Delta x$
  - 則 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to \infty} \frac {\Delta y}{\Delta x} = e^x$
  - $\Rightarrow \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = e^x \\ \Rightarrow dy = e^{x}\cdot dx$

Example

對 $y = e^{-x^2}$ 微分
- $\mathrm dy = (e^{-x^2}) \cdot \mathrm d(-x^2)$
- $\mathrm dy= (-2x e^{-x^2}) \cdot dx$

Example

對 $y = a^x $ 微分
- $\Rightarrow y = e^{\ln{a^x}} = e^{x\cdot\ln a}$
- 對 $y$ 作微分
  - $\Rightarrow \mathrm dy= e^{x\cdot\ln a} \cdot \mathrm d(x \ln a )$
  - $\Rightarrow \mathrm dy= (\ln a\cdot a^x) \cdot \mathrm dx$

求 $y = a^x$ 之「導函數」

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x} = (\lim_{\Delta x \to 0} \frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x})a^x$

其「導函數」為「原函數」乘上與自己成正比之值

對 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}$ 進行探討，將 $a$ 以 $e$ 代入可得

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x} \approx \lim_{\Delta \to 0} \frac {(1+ \Delta x)-1}{\Delta x} = \lim_{\Delta \to 0} \frac {\Delta x}{\Delta x} = 1$

推估此式為反函數：$\log_e x = \lim_{n \to 0} \frac {x^n-1}{n} \equiv \lim_{n\to\infty} n(x^{\frac 1n}-1)$

亦為「歐拉對自然對數的定義」

$\ln x$

\[ y = \log_{e}{x} = \ln{x} \quad, x = e^{y} \]

\[ \ln (a) = \int_1^a \frac{1}{x} dx \]

Proof：$\ln x = \int_1^x \frac{1}{x} dx$

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\ln x) = \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{\ln(x+\Delta x) - \ln x}{\Delta x})$
- $\Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} (\frac 1{\Delta x}\cdot \ln(\frac{x+\Delta x}{x})) \\ \Leftrightarrow \lim_{\Delta x \to 0} (\ln (1+\frac{\Delta x}{x})^{\frac{1}{\Delta x}})$
令 $u = \frac {\Delta x}{x}、\Delta x = ux$
- 欲使 $\Delta x \to 0$ 時
  - 則必使 $u \to 0$
- $\Rightarrow \lim_{u \to 0} (\ln (1+u)^{\frac{1}{u x}} ) = \lim_{u \to 0} (\ln(((1+u)^{\frac{1}{u}})^\frac{1}{x}))\\ \Leftrightarrow \lim_{u \to 0} (\frac 1x \cdot ln (1+u)^{\frac 1u}) \\ \Leftrightarrow \frac 1x \lim_{u \to 0} (\ln(1+u)^{\frac 1u})$
令 $n = \frac 1u$
- 欲使 $u \to 0$
  - 則必使 $n \to \infty$
- $\Rightarrow \frac 1x lim_{n \to \infty} (\ln (1 + \frac 1n)^n) \\ \Leftrightarrow \frac 1x \ln( \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1n)^n ) \\ \Leftrightarrow \frac 1x \ln e \Leftrightarrow \frac 1x$
  - 則 $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(\ln x) = \frac 1x = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \int_1^x \frac 1t \mathrm dt$
  - 根據「微積分第一基本定理」，表明不定積分是微分的逆運算，其保證某連續函數之原函數的存在性
    - $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (\ln x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} (\int_1^x \frac{1}{t} \mathrm dt) \\ \Leftrightarrow \ln x = \int_1^x \frac{1}{t} \mathrm dt$

$\ln x$ 的微分

$y = x $

$x = e^y $

$dx = e^y dy $

（對 $e^{y}$ 作移項）

$dy = dx = dx $

Example

對 $y=_a x $ 作微分
- $ y = $
  - $\Rightarrow dy= (\frac{1}{\ln a} \cdot \frac 1x) \cdot dx$

補充例題

Example

對 $y = f \left( x\right) = x^x$ 作微分
- 兩側取自然對數函數
  - $\ln ( f ( x ) ) = x \cdot \ln x$
- 對兩側取微分
  - $\frac{f'(x)}{f(x)} = \left( 1 \cdot \ln{x} \right) + \left( x \cdot \frac{1}{x}\right)$
- 對兩側乘上 $f(x)$
  - $f'(x) = \left( \left( 1 \cdot \ln{x} \right) + \left( x \cdot \frac{1}{x}\right) \right) \cdot f(x) \\ \Rightarrow f'(x) = \left( \ln{x} + 1 \right) \cdot \left( x^x \right)$